Ước lượng độ cao đỉnh trụ tháp cầu bằng hàm số bậc hai
Problem:
Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thành phố Đà Nẵng để ngắm cảnh cầu vượt (H.6.13). Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27 m, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26 m là 20 m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu so với mặt đất.
Vì đồ thị parabol đi qua O(0; 0) nên phương trình có dạng \( y = ax^2 + bx \).
Đồ thị đi qua hai điểm (2,26; 20) và (27; 0), ta lập hệ phương trình:
\[\left\{\begin{array}{l} a \cdot (2{,}26)^2 + b \cdot 2{,}26 = 20 \\ a \cdot 27^2 + b \cdot 27 = 0 \end{array}\right.\]
Giải hệ này ta được:
\[\left\{\begin{array}{l} a \approx -0{,}358 \\ b \approx 9{,}666 \end{array}\right.\]
Vậy phương trình parabol là \( y = -0{,}358x^2 + 9{,}666x \).
Tọa độ đỉnh:
\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{-9{,}666}{2 \cdot (-0{,}358)} = 13{,}5\]
\[y = -0{,}358 \cdot (13{,}5)^2 + 9{,}666 \cdot 13{,}5 \approx 65{,}2455\]
Vậy độ cao của đỉnh trụ tháp cầu so với mặt đất khoảng **65,2455 m**.