Ước tính dân số sau 5 năm bằng khai triển nhị thức

a) Số dân tỉnh đó sau 1 năm: \[800 + 800 \cdot r\% = 800(1 + r\%).\] Số dân tỉnh đó sau 2 năm (lấy số dân cuối năm 1 làm gốc, tăng thêm r%): \[800(1+r\%) + 800(1+r\%) \cdot r\% = 800(1+r\%)(1+r\%) = 800(1+r\%)^2.\] Theo quy luật đó, sau mỗi năm số dân được nhân thêm nhân tử \((1+r\%)\). Do đó sau 5 năm, số dân là: \[P = 800 \cdot (1 + r\%)^5 \text{ (nghìn người)}.\] b) Với \(r = 1{,}5\), tức \(r\% = 0{,}015\), áp dụng khai triển nhị thức Newton: \[(1+b)^5 = 1 + 5b + 10b^2 + 10b^3 + 5b^4 + b^5.\] Vì \(b = 0{,}015\) rất nhỏ, \(b^2 = 0{,}000225\) và các số hạng sau càng nhỏ hơn nên bỏ qua. Chỉ lấy hai số hạng đầu: \[(1 + 0{,}015)^5 \approx 1 + 5 \cdot 1^4 \cdot 0{,}015 = 1 + 0{,}075 = 1{,}075.\] Số dân ước tính sau 5 năm: \[P \approx 800 \cdot 1{,}075 = 860 \text{ (nghìn người)}.\]