Phân tích sự thay đổi của các số đo độ phân tán khi biến đổi dữ liệu

Sắp xếp 10 số theo thứ tự không giảm: \(x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_{10}\). Khi đó: \(x_{\min} = x_1\), \(x_{\max} = x_{10}\), \(Q_1 = x_3\), \(Q_3 = x_8\). a) Nhân mỗi giá trị với 2: Số liệu mới là \(2x_1 \leq 2x_2 \leq \cdots \leq 2x_{10}\). - Khoảng biến thiên: \(R' = 2x_{10} - 2x_1 = 2(x_{10} - x_1) = 2R\) → R tăng 2 lần. - Tứ phân vị mới: \(Q_1' = 2x_3 = 2Q_1\), \(Q_3' = 2x_8 = 2Q_3\). \[\Delta_Q' = Q_3' - Q_1' = 2Q_3 - 2Q_1 = 2\Delta_Q\] → Khoảng tứ phân vị tăng 2 lần. - Giá trị trung bình mới: \(\bar{x}' = 2\bar{x}\). \[(2x_i - 2\bar{x})^2 = 4(x_i - \bar{x})^2\] \[s'^2 = \frac{4(x_1-\bar{x})^2 + \cdots + 4(x_{10}-\bar{x})^2}{10} = 4s^2\] \[s' = \sqrt{4s^2} = 2s\] → Độ lệch chuẩn tăng 2 lần. Vậy khi nhân mỗi giá trị với 2, cả R, \(\Delta_Q\) và s đều tăng 2 lần. b) Cộng mỗi giá trị với 2: Số liệu mới là \(x_1+2 \leq x_2+2 \leq \cdots \leq x_{10}+2\). - Khoảng biến thiên: \(R' = (x_{10}+2)-(x_1+2) = x_{10}-x_1 = R\) → R không đổi. - Tứ phân vị mới: \(Q_1' = Q_1+2\), \(Q_3' = Q_3+2\). \[\Delta_Q' = (Q_3+2)-(Q_1+2) = Q_3-Q_1 = \Delta_Q\] → Khoảng tứ phân vị không đổi. - Giá trị trung bình mới: \(\bar{x}' = \bar{x}+2\). \[(x_i+2)-(\bar{x}+2) = x_i - \bar{x}\] → Mỗi sai lệch không đổi, nên phương sai không đổi, độ lệch chuẩn không đổi. Vậy khi cộng mỗi giá trị với 2, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều không thay đổi.