a) Vị trí ban đầu ứng với \(t = 0\):
\[x = 2 + \sin 0^\circ = 2 + 0 = 2, \quad y = 4 + \cos 0^\circ = 4 + 1 = 5.\]
Vậy vị trí ban đầu là \(A(2;\ 5)\).
Vị trí kết thúc ứng với \(t = 180\):
\[x = 2 + \sin 180^\circ = 2 + 0 = 2, \quad y = 4 + \cos 180^\circ = 4 + (-1) = 3.\]
Vậy vị trí kết thúc là \(B(2;\ 3)\).
b) Gọi \(M(x;\ y)\) là vị trí của vật thể tại thời điểm \(t\). Từ công thức toạ độ:
\[x - 2 = \sin t^\circ, \quad y - 4 = \cos t^\circ.\]
Áp dụng đẳng thức \(\sin^2 t^\circ + \cos^2 t^\circ = 1\):
\[(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 1.\]
Đây là phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(2;\ 4)\), bán kính \(R = 1\).
Tuy nhiên, khi \(t \in [0;\ 180]\) thì:
\[\sin t^\circ \in [0;\ 1] \Rightarrow x = 2 + \sin t^\circ \in [2;\ 3],\]
\[\cos t^\circ \in [-1;\ 1] \Rightarrow y = 4 + \cos t^\circ \in [3;\ 5].\]
Nhận thấy \(x \ge 2\), tức điểm \(M\) chỉ nằm trên phần đường tròn có \(x \ge 2\).
Vậy quỹ đạo của vật thể là nửa đường tròn đường kính \(AB\) nằm trên nửa mặt phẳng có \(x \ge 2\) (nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa điểm \(C(3;\ 4)\)).
