Tính khoảng cách từ cảng đến đảo nơi tàu neo đậu
Problem:
Một con tàu xuất phát từ cảng A, di chuyển theo hướng \(S70^\circ E\) với vận tốc 70 km/h. Sau 90 phút thì động cơ bị hỏng tại điểm B. Tàu trôi tự do theo hướng Nam với vận tốc 8 km/h trong 2 giờ và neo đậu tại đảo C. Tính khoảng cách từ cảng A đến đảo C.
Tính quãng đường AB (tàu đi 90 phút = 1,5 giờ với vận tốc 70 km/h):
\[AB = 70 \times 1{,}5 = 105 \text{ (km)}\]
Tính quãng đường BC (tàu trôi 2 giờ với vận tốc 8 km/h):
\[BC = 8 \times 2 = 16 \text{ (km)}\]
Xác định góc \(\widehat{ABC}\): Tàu xuất phát theo hướng \(S70^\circ E\) nên \(\widehat{BAS} = 70^\circ\). Sau khi hỏng động cơ, tàu trôi theo hướng Nam, tức BC song song với tia Nam AS. Suy ra:
\[\widehat{ABC} = 180^\circ - \widehat{BAS} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\]
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ABC})\]
\[AC^2 = 105^2 + 16^2 - 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos 110^\circ\]
\[AC^2 = 11025 + 256 - 3360 \cdot \cos 110^\circ \approx 11025 + 256 + 1149 \approx 12430\]
\[AC \approx 111{,}5 \text{ (km)}\]
Khoảng cách từ cảng A đến đảo C là khoảng 111,5 km.