Tính sin A và diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh

Từ định lí cosin: \(\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\). Do \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) và \(0^\circ < \widehat{A} < 180^\circ\) nên \(\sin A > 0\), suy ra: \[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)^2}\] \[= \sqrt{\frac{4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}{4b^2c^2}} = \frac{\sqrt{4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}}{2bc}.\] Thay vào công thức diện tích \(S = \dfrac{1}{2}bc \sin A\): \[S = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{\sqrt{4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}}{2bc} = \frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}.\] Tiếp tục biến đổi phần dưới dấu căn bằng hằng đẳng thức \(X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y)\): \[4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2 = (2bc + b^2 + c^2 - a^2)(2bc - b^2 - c^2 + a^2)\] \[= \left[(b+c)^2 - a^2\right]\left[a^2 - (b-c)^2\right]\] \[= (b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c).\] Đặt \(p = \dfrac{a+b+c}{2}\) (nửa chu vi tam giác), ta có: \[\begin{cases} a + b + c = 2p \\ b + c - a = 2(p - a) \\ a + c - b = 2(p - b) \\ a + b - c = 2(p - c). \end{cases}\] Suy ra: \[S = \frac{1}{4}\sqrt{2p \cdot 2(p-a) \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c)} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\] Đây là công thức Heron, cho phép tính diện tích tam giác chỉ cần biết độ dài ba cạnh.