Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình và kiểm tra nghiệm
Problem:
Cho đường thẳng d: x + y = 150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tại hai điểm A và B.
a) Xác định các miền nghiệm \(D_1, D_2, D_3\) của các bất phương trình tương ứng \(x \ge 0\); \(y \ge 0\) và \(x + y \le 150\).
b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao của các miền \(D_1, D_2\) và \(D_3\) hay không?
c) Lấy điểm (1; 2) nằm trong tam giác OAB và điểm (1; 149) nằm trên cạnh tam giác OAB. Kiểm tra xem tọa độ các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:
\[\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 150 \end{array} \right.\]
Miền nghiệm D2 của \(y \ge 0\):
Vẽ đường thẳng \(y = 0\) (trục Ox) bằng nét liền. Chọn điểm B(0; 150) không thuộc trục Ox, thay vào: \(y = 150 \ge 0\) — đúng. Vậy D2 là nửa mặt phẳng phía trên trục Ox (kể cả trục Ox).
Miền nghiệm D3 của \(x + y \le 150\):
Vẽ đường thẳng \(x + y = 150\) bằng nét liền. Chọn điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng, thay vào: \(0 + 0 = 0 \le 150\) — đúng. Vậy D3 là nửa mặt phẳng chứa gốc O (kể cả đường thẳng \(x + y = 150\)).
b) Vẽ ba miền D1, D2, D3 lên cùng một hệ trục tọa độ:
Phần giao của D1, D2 và D3 chính là miền tam giác OAB (bao gồm cả ba cạnh). Vậy miền tam giác OAB là giao của ba miền \(D_1, D_2, D_3\).
c) Kiểm tra điểm (1; 2):
Thay \(x = 1, y = 2\) vào hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l} 1 \ge 0 \\ 2 \ge 0 \\ 1 + 2 = 3 \le 150 \end{array} \right.\]
Cả ba bất phương trình đều đúng. Vậy (1; 2) là nghiệm của hệ.
Kiểm tra điểm (1; 149):
Thay \(x = 1, y = 149\) vào hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l} 1 \ge 0 \\ 149 \ge 0 \\ 1 + 149 = 150 \le 150 \end{array} \right.\]
Cả ba bất phương trình đều đúng. Vậy (1; 149) là nghiệm của hệ.