Nhận xét vị trí M, M' và quan hệ lượng giác của góc bù
Problem:
Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M' đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa \(\sin \alpha\) và \(\sin\left(180^o - \alpha\right)\), giữa \(\cos \alpha\) và \(\cos\left(180^o - \alpha\right)\).
\(\cos\alpha = 0\), \(\sin\alpha = 1\), \(\cos(180^o - \alpha) = 0 = -\cos\alpha\), \(\sin(180^o - \alpha) = 1 = \sin\alpha\).
Trường hợp 2: \(\alpha < 90^o\), suy ra \(180^o - \alpha > 90^o\).
M nằm bên phải trục Oy, M' nằm bên trái trục Oy.
Gọi B là điểm \((0;1)\) trên trục Oy. Xét tam giác MOB và tam giác M'OB:
— \(OM = OM' = 1\) (cùng là bán kính đường tròn đơn vị).
— \(\widehat{M'OB} = 90^o - (180^o - \alpha - 90^o) = \alpha - 0^o\)... Cụ thể hơn: \(\widehat{xOM} = \alpha\) và \(\widehat{xOM'} = 180^o - \alpha\), nên \(\widehat{M'OB} = 90^o - \widehat{M'OC}\) với \(\widehat{M'OC} = 180^o - (180^o-\alpha) = \alpha\). Suy ra \(\widehat{M'OB} = 90^o - \alpha = \widehat{MOB}\).
— OB chung.
Vậy \(\Delta MOB = \Delta M'OB\) (c-g-c), suy ra \(BM = BM'\), tức OB là trung trực của MM'.
M và M' đối xứng nhau qua trục Oy, nên \(M'(-x_0; y_0)\).
Trường hợp 3: \(\alpha > 90^o\), suy ra \(180^o - \alpha < 90^o\).
M nằm bên trái trục Oy, M' nằm bên phải trục Oy. Lập luận tương tự trường hợp 2, M và M' cũng đối xứng qua trục Oy, suy ra \(M'(-x_0; y_0)\).
Kết luận: Với mọi \(0^o < \alpha < 180^o\):
\[\cos(180^o - \alpha) = -x_0 = -\cos\alpha\]
\[\sin(180^o - \alpha) = y_0 = \sin\alpha\]
\[\tan(180^o - \alpha) = -\tan\alpha \quad (\alpha \ne 90^o)\]
\[\cot(180^o - \alpha) = -\cot\alpha\]