Biểu thị vectơ AM qua AB và AC khi M chia BC theo tỉ số 3:1
Problem:
Trên cạnh BC của tam giác ABC, lấy điểm M sao cho MB = 3MC.
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MC}\).
b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).
a) M nằm trên cạnh BC nên \(\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MC}\) ngược hướng nhau.
Vì MB = 3MC nên:
\[\overrightarrow{MB} = -3\overrightarrow{MC}\]
b) Vì M nằm giữa B và C: \(MB + MC = BC\), tức \(3MC + MC = BC\), suy ra \(MC = \dfrac{1}{4}BC\) và \(BM = \dfrac{3}{4}BC\).
Do đó: \(\overrightarrow{BM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)
Áp dụng quy tắc cộng:
\[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\]
Theo quy tắc hiệu: \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\), thay vào:
\[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\]
\[\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\]