Giải phương trình chứa căn bậc hai

a) \(\sqrt{2x^2 - 14} = x - 1 \quad (1)\) Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\). TXĐ: \(D = [1; +\infty)\). Bình phương hai vế: \[(1) \Leftrightarrow 2x^2 - 14 = (x-1)^2\] \[\Leftrightarrow 2x^2 - 14 = x^2 - 2x + 1\] \[\Leftrightarrow x^2 + 2x - 15 = 0\] \[\Leftrightarrow (x-3)(x+5) = 0\] \[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3 \\ x = -5 \end{array}\right.\] Đối chiếu điều kiện \(x \ge 1\): chỉ \(x = 3\) thỏa mãn, \(x = -5\) loại. Vậy phương trình (1) có nghiệm \(x = 3\). b) \(\sqrt{-x^2 - 5x + 2} = \sqrt{x^2 - 2x - 3} \quad (2)\) Điều kiện: \[\left\{\begin{array}{l} -x^2 - 5x + 2 \ge 0 \\ x^2 - 2x - 3 \ge 0 \end{array}\right.\] Giải điều kiện thứ nhất: \(-x^2 - 5x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + 5x - 2 \le 0 \Leftrightarrow \frac{-5-\sqrt{33}}{2} \le x \le \frac{-5+\sqrt{33}}{2}\). Giải điều kiện thứ hai: \(x^2 - 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow (x-3)(x+1) \ge 0 \Leftrightarrow x \le -1\) hoặc \(x \ge 3\). Kết hợp hai điều kiện: \(\frac{-5-\sqrt{33}}{2} \le x \le -1\). TXĐ: \(D = \left[\frac{-5-\sqrt{33}}{2};\, -1\right]\). Bình phương hai vế: \[(2) \Leftrightarrow -x^2 - 5x + 2 = x^2 - 2x - 3\] \[\Leftrightarrow 2x^2 + 3x - 5 = 0\] \[\Leftrightarrow (x-1)(2x+5) = 0\] \[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = -\dfrac{5}{2} \end{array}\right.\] Đối chiếu điều kiện: \(x = 1\) không thuộc \(D\), loại. \(x = -\dfrac{5}{2}\) thuộc \(D\), nhận. Vậy phương trình (2) có nghiệm \(x = -\dfrac{5}{2}\).