Tìm hệ số a của parabol và kiểm tra xe tải qua cổng vòm
Đề bài:
Một cổng vòm được thiết kế dạng parabol \(y = ax^2\) như hình vẽ. Biết chiều rộng chân cổng là \(AB = 6\) m và chiều cao cổng là \(OI = 4{,}5\) m.
a) Tìm hệ số \(a\) từ các dữ kiện trên. Từ đó tính độ dài đoạn \(HK\), biết \(H\) cách điểm chính giữa cổng \(I\) là \(2\) m.
b) Để vận chuyển hàng qua cổng, người ta dùng một xe tải có chiều rộng \(2\) m, chiều cao \(3\) m. Xe tải này có đi qua được cổng vòm không?
a) Tìm hệ số \(a\) từ các dữ kiện trên. Từ đó tính độ dài đoạn \(HK\), biết \(H\) cách điểm chính giữa cổng \(I\) là \(2\) m.
b) Để vận chuyển hàng qua cổng, người ta dùng một xe tải có chiều rộng \(2\) m, chiều cao \(3\) m. Xe tải này có đi qua được cổng vòm không?
Đặt gốc tọa độ tại đỉnh vòm \(O\), trục tung hướng xuống. Vì \(AB = 6\) m nên hai chân cổng \(A\), \(B\) cách \(O\) mỗi bên \(3\) m theo chiều ngang. Chiều cao cổng \(OI = 4{,}5\) m nên chân cổng có tọa độ \(y = -4{,}5\).
Đồ thị \(y = ax^2\) đi qua điểm \(\left(3;\,-\dfrac{9}{2}\right)\), thay vào ta được:
\[-\frac{9}{2} = a \cdot 3^2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}.\]
Vậy hàm số là \(y = -\dfrac{1}{2}x^2\).
Điểm \(H\) nằm trên mặt đất, cách tâm \(I\) là \(2\) m theo chiều ngang nên \(H\left(2;\,-4{,}5\right)\).
Điểm \(K\) là giao của đường thẳng đứng qua \(H\) với parabol, nên:
\[y_K = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 = -2 \Rightarrow K(2;\,-2).\]
Do đó:
\[HK = 4{,}5 - 2 = 2{,}5 \text{ (m)}.\]
b) Xe tải rộng \(2\) m nên mỗi mép xe cách tâm cổng \(1\) m. Tại \(x = 1\):
\[y(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 = -\frac{1}{2}.\]
Chiều cao cổng tại vị trí mép xe là:
\[4{,}5 - \left|-\frac{1}{2}\right| = 4{,}5 - 0{,}5 = 4 \text{ (m)}.\]
Vì \(4 > 3\) nên chiều cao cổng tại vị trí mép xe lớn hơn chiều cao xe tải. Xe tải này có thể đi qua cổng vòm được.