Tìm cạnh lục giác đều nhỏ để diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang

Nối các cặp đỉnh đối diện của lục giác lớn, ta xác định được điểm O là tâm chung của cả hai lục giác. Lục giác đều chia thành 6 tam giác đều chung đỉnh O. Đặt A, B là hai đỉnh kề nhau của lục giác nhỏ, AB = x cm (0 < x < 10). Tam giác AOB đều nên OA = OB = AB = x và \(\widehat{OBA} = 60^\circ\). Kẻ \(OH \perp AB\). Theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: \[OH = OB \cdot \sin\widehat{OBA} = x \cdot \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}x \text{ (cm)}\] Diện tích tam giác AOB: \[S_{\Delta AOB} = \frac{OH \cdot AB}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x \cdot x}{2} = \frac{x^2\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{)}\] Diện tích lục giác đều nhỏ: \[S_{\text{nhỏ}} = 6 \cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}x^2}{2} \text{ (cm}^2\text{)}\] Theo đề bài, diện tích lục giác nhỏ bằng hai lần diện tích mỗi hình thang nên: \[S_{\text{hình thang}} = \frac{S_{\text{nhỏ}}}{2} = \frac{3\sqrt{3}x^2}{4} \text{ (cm}^2\text{)}\] Tổng diện tích 6 hình thang: \[6 \cdot \frac{3\sqrt{3}x^2}{4} = \frac{9\sqrt{3}x^2}{2} \text{ (cm}^2\text{)}\] Diện tích lục giác đều lớn: \[S_{\text{lớn}} = S_{\text{nhỏ}} + S_{\text{6 hình thang}} = \frac{3\sqrt{3}x^2}{2} + \frac{9\sqrt{3}x^2}{2} = \frac{12\sqrt{3}x^2}{2} = 6\sqrt{3}x^2 \text{ (cm}^2\text{)} \quad (1)\] Mặt khác, tính diện tích lục giác đều lớn theo cạnh 10 cm: \[S_{\text{lớn}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 10^2}{2} = 150\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)} \quad (2)\] Từ (1) và (2): \[6\sqrt{3}x^2 = 150\sqrt{3}\] \[x^2 = 25\] \[x = 5 \text{ (thỏa mãn } 0 < x < 10\text{)}\] Vậy cạnh của lục giác đều nhỏ là 5 cm.