Tính chu vi, diện tích tam giác và bán kính đường tròn nội tiếp trong bài toán quy hoạch

a) Kiểm tra: \[ 900^2 + 1200^2 = 810\,000 + 1\,440\,000 = 2\,250\,000 = 1500^2 \] Vậy tam giác này là tam giác vuông (hai cạnh góc vuông là 900m và 1 200m, cạnh huyền là 1 500m). Chu vi phần đất: \[ C = 900 + 1200 + 1500 = 3600 \, (m) \] Diện tích phần đất: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot 1200 = 540\,000 \, (m^2) \] b) Điểm cách đều ba con đường là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi tam giác giới hạn phần đất là ABC, trong đó \(AB = 900\,m,\; AC = 1200\,m,\; BC = 1500\,m\). Tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Kẻ \(ID \perp AB\) tại D, \(IE \perp AC\) tại E, \(IF \perp BC\) tại F. Khi đó \(ID = IE = IF = r\). Xét tứ giác ADIE: \(\widehat{DAE} = 90^\circ\) (góc A của tam giác vuông), \(\widehat{IDA} = 90^\circ\), \(\widehat{IEA} = 90^\circ\). Ba góc vuông nên ADIE là hình chữ nhật. Mà \(ID = IE\) nên ADIE là hình vuông. Suy ra: \(AD = AE = ID = IE = r\). Ta có: \[ BD = AB - AD = 900 - r, \quad CE = AC - AE = 1200 - r \] Theo tính chất hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn: \[ BF = BD = 900 - r, \quad CF = CE = 1200 - r \] Vì \(BF + CF = BC = 1500\): \[ (900 - r) + (1200 - r) = 1500 \] \[ 2100 - 2r = 1500 \] \[ 2r = 600 \] \[ r = 300 \] Vậy khách sạn cách mỗi con đường 300m.