Gọi khung gỗ hình tam giác đều là tam giác ABC, đường tròn mặt đồng hồ có tâm I.
Vì đồng hồ đặt vừa khít bên trong khung, đường tròn tâm I tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác ABC từ bên trong. Do đó đường tròn (I) chính là đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC.
Bán kính đường tròn nội tiếp:
\[
r = \frac{30}{2} = 15 \text{ (cm)}
\]
Gọi H là chân đường vuông góc từ I đến BC, thì \(IH = r = 15\) cm.
Theo công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh \(a\):
\[
r = \frac{\sqrt{3}}{6}a
\]
Thay \(r = 15\):
\[
15 = \frac{\sqrt{3}}{6}a \implies a = \frac{15 \times 6}{\sqrt{3}} = \frac{90}{\sqrt{3}} = \frac{90\sqrt{3}}{3} = 30\sqrt{3} \text{ (cm)}
\]
Vậy độ dài các cạnh phía bên trong của khung gỗ bằng \(30\sqrt{3}\) cm.
