Chứng minh tiếp tuyến và trung điểm trong hai đường tròn tiếp xúc ngoài
Đề bài:
Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó \(B \in (O)\) và \(C \in (O')\). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O').
b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, từ đó suy ra tam giác ABC vuông.
a) Vì (O) và (O') tiếp xúc ngoài nhau tại A nên \(A \in (O')\) và ba điểm O, A, O' thẳng hàng.
Vì AM là tiếp tuyến của (O) tại A nên \(AM \perp OA\).
Do O, A, O' thẳng hàng nên \(OA\) và \(O'A\) cùng phương, suy ra \(AM \perp O'A\).
Vậy MA vuông góc với bán kính O'A tại điểm A thuộc (O'), do đó MA là tiếp tuyến của (O') tại A.
b) Xét điểm M:
- M nằm ngoài (O). MA và MB đều là tiếp tuyến của (O) (MA là tiếp tuyến tại A, MB là tiếp tuyến tại B vì d tiếp xúc (O) tại B). Theo tính chất hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn: \(MA = MB\).
- M nằm ngoài (O'). MA và MC đều là tiếp tuyến của (O') (MA là tiếp tuyến tại A theo câu a, MC là tiếp tuyến tại C vì d tiếp xúc (O') tại C). Theo tính chất hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn: \(MA = MC\).
Suy ra \(MB = MA = MC\), tức là M cách đều B và C, vậy M là trung điểm của BC.
Trong tam giác ABC, MA là đường trung tuyến ứng với cạnh BC và \(MA = \dfrac{BC}{2}\) (vì \(MA = MB = MC = \dfrac{BC}{2}\)).
Theo định lý đảo của tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông: nếu đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác vuông tại đỉnh đối diện.
Vậy tam giác ABC vuông tại A.