Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó MN // AC và \(MN = \frac{1}{2}AC\) (1). Vì M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó MQ // BD và \(MQ = \frac{1}{2}BD\). Vì P, Q lần lượt là trung điểm của CD, AD nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC. Do đó PQ // AC và \(PQ = \frac{1}{2}AC\) (2). Từ (1) và (2): MN = PQ và MN // PQ, nên tứ giác MNPQ là hình bình hành (3). Vì ABCD là hình thoi nên \(AC \perp BD\). Vì MN // AC và \(AC \perp BD\) nên \(MN \perp BD\). Vì MQ // BD và \(MN \perp BD\) nên \(MQ \perp MN\), suy ra \(\widehat{QMN} = 90°\) (4). Từ (3) và (4): tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Nối MP. Xét tứ giác BMPC có: \[BM = CP = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD\] BM // CP (vì AB // CD). Suy ra BMPC là hình bình hành, nên MP = BC = 3 cm. Vì MNPQ là hình chữ nhật, đường tròn ngoại tiếp có đường kính bằng đường chéo MP nên bán kính là: \[R = \frac{MP}{2} = \frac{3}{2} \text{ (cm)}\]