Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai tự chảy đầy bể lần lượt là \(x\) và \(y\) (giờ), với \(x, y > 0\).
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) bể.
Đổi đơn vị: 1 giờ 20 phút \(= \frac{4}{3}\) giờ; 10 phút \(= \frac{1}{6}\) giờ; 12 phút \(= \frac{1}{5}\) giờ.
Hai vòi cùng chảy đầy bể trong \(\frac{4}{3}\) giờ, nên mỗi giờ cả hai chảy được \(1 : \frac{4}{3} = \frac{3}{4}\) bể. Phương trình (1):
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\]
Mở riêng vòi 1 trong \(\frac{1}{6}\) giờ chảy được \(\frac{1}{6x}\) bể; mở riêng vòi 2 trong \(\frac{1}{5}\) giờ chảy được \(\frac{1}{5y}\) bể. Tổng bằng \(\frac{2}{15}\) bể. Phương trình (2):
\[\frac{1}{6x} + \frac{1}{5y} = \frac{2}{15}\]
Hệ phương trình:
\[\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \quad (1)\\\frac{1}{6x} + \frac{1}{5y} = \frac{2}{15} \quad (2)\end{array}\right.\]
Nhân cả hai vế của (1) với \(\frac{1}{5}\):
\[\frac{1}{5x} + \frac{1}{5y} = \frac{3}{20} \quad (1')\]
Trừ (2) cho (1'):
\[\left(\frac{1}{5x} + \frac{1}{5y}\right) - \left(\frac{1}{6x} + \frac{1}{5y}\right) = \frac{3}{20} - \frac{2}{15}\]
\[\frac{1}{5x} - \frac{1}{6x} = \frac{9}{60} - \frac{8}{60}\]
\[\frac{1}{30x} = \frac{1}{60}\]
\[x = 2 \quad (\text{thỏa mãn})\]
Thay \(x = 2\) vào (1):
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \Rightarrow y = 4 \quad (\text{thỏa mãn})\]
Đổi: \(x = 2\) giờ \(= 120\) phút; \(y = 4\) giờ \(= 240\) phút.
Vậy vòi thứ nhất mở riêng cần 120 phút để đầy bể, vòi thứ hai mở riêng cần 240 phút để đầy bể.
