Lập và giải hệ phương trình pha chế dung dịch đường

a) Gọi x (gam) là lượng đường cát và y (gam) là lượng nước cất cần pha chế. Thể tích của x gam đường cát là \(\dfrac{x}{1{,}1}\) (ml). Thể tích của y gam nước cất là y (ml) (vì 1 ml nước nặng 1 gam). Tổng thể tích dung dịch bằng 1000 ml nên: \[\frac{x}{1{,}1} + y = 1000 \quad (1)\] Khối lượng dung dịch là \(x + y\) (gam). Dung dịch có nồng độ a% nên: \[\frac{x}{x + y} \cdot 100 = a \quad (2)\] Từ (1) và (2), x và y thỏa mãn hệ phương trình đã cho. b) Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 1,1: \[x + 1{,}1y = 1100 \quad (3)\] Từ (2): \(100x = a(x + y)\), suy ra: \[(100 - a)x - ay = 0 \quad (4)\] Từ (3) và (4) ta có hệ bậc nhất hai ẩn: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 1{,}1y = 1100\\(100 - a)x - ay = 0\end{array} \right.\] Từ phương trình (3): \(x = 1100 - 1{,}1y\). Thay vào (4): \[(100 - a)(1100 - 1{,}1y) - ay = 0\] \[1100(100 - a) - 1{,}1y(100 - a) - ay = 0\] \[y\bigl(1{,}1(100 - a) + a\bigr) = 1100(100 - a)\] \[y(110 - 0{,}1a) = 1100(100 - a)\] \[y = \frac{1100(100 - a)}{110 - 0{,}1a}\] Thay y vừa tìm vào biểu thức x: \[x = 1100 - 1{,}1 \cdot \frac{1100(100 - a)}{110 - 0{,}1a} = \frac{1100(110 - 0{,}1a) - 1210(100 - a)}{110 - 0{,}1a}\] \[= \frac{121000 - 110a - 121000 + 1210a}{110 - 0{,}1a} = \frac{1100a}{110 - 0{,}1a}\] Vậy nghiệm của hệ là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1100a}{110 - 0{,}1a}\\y = \dfrac{1100(100 - a)}{110 - 0{,}1a}\end{array} \right.\] c) Với a = 63: \[x = \frac{1100 \cdot 63}{110 - 0{,}1 \cdot 63} = \frac{69300}{103{,}7} \approx 668{,}3 \text{ (gam)}\] \[y = \frac{1100(100 - 63)}{110 - 0{,}1 \cdot 63} = \frac{1100 \cdot 37}{103{,}7} \approx 392{,}5 \text{ (gam)}\] Vậy cần khoảng 668,3 gam đường cát và 392,5 gam nước cất để pha 1000 ml nước đường nồng độ 63%.