a) Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 5:
\[\frac{2}{5}x \cdot 5 + y \cdot 5 = 1 \cdot 5 \Rightarrow 2x + 5y = 5\]
Hệ trở thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 10\\2x + 5y = 5\end{array} \right.\]
Trừ vế theo vế:
\[(2x + 5y) - (2x + 5y) = 10 - 5 \Rightarrow 0 = 5\]
Đây là đẳng thức vô lí, không có giá trị nào của \(x, y\) thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
b) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 10:
\[0,2x \cdot 10 + 0,1y \cdot 10 = 0,3 \cdot 10 \Rightarrow 2x + y = 3\]
Hệ trở thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\3x + y = 5\end{array} \right.\]
Trừ vế theo vế:
\[(2x + y) - (3x + y) = 3 - 5 \Rightarrow -x = -2 \Rightarrow x = 2\]
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(2x + y = 3\):
\[2 \cdot 2 + y = 3 \Rightarrow y = -1\]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \((x; y) = (2; -1)\).
c) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4:
\[\frac{3}{2}x \cdot 4 - y \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 4 \Rightarrow 6x - 4y = 2\]
Hệ trở thành:
\[\left\{ \begin{array}{l}6x - 4y = 2\\6x - 4y = 2\end{array} \right.\]
Trừ vế theo vế:
\[(6x - 4y) - (6x - 4y) = 2 - 2 \Rightarrow 0 = 0\]
Đẳng thức này đúng với mọi \(x, y\), nên hệ có vô số nghiệm.
Từ phương trình \(\frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2}\), suy ra \(y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\).
Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;\, \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
