Chứng minh tứ giác OO'KI là hình thang vuông và hình chữ nhật

Đề bài:

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O') tại F (E và F khác A). Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF.

a) Chứng minh rằng tứ giác OO'KI là một hình thang vuông. b) Chứng minh rằng \({\rm{IK}} = \frac{1}{2}{\rm{EF}}\). c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO'KI là một hình chữ nhật?

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Đường thẳng d qua A cắt (O) tại E, cắt (O') tại F; I là trung điểm AE, K là trung điểm AF. Cần chứng minh OO'KI là hình thang vuông, tính IK theo EF, và tìm vị trí d để OO'KI thành hình chữ nhật.

Kiến thức cần dùng

Đường kính và dây cung trong đường tròn — đường nối tâm vuông góc với dây tại trung điểm. Tam giác cân có đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thứ ba thì song song với nhau. Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Hình chữ nhật là hình thang có hai góc vuông.

Phương pháp giải

Chỉ có một hướng giải chính. Với câu a, chú ý OA = OE (bán kính) nên tam giác OAE cân tại O, do đó OI (trung tuyến) cũng là đường cao, tức OI ⊥ d. Tương tự O'K ⊥ d. Từ đó OI // O'K và tứ giác có một cặp cạnh song song. Góc tại I bằng 90° nên là hình thang vuông. Với câu b, dùng IA = AE/2 và AK = AF/2, sau đó cộng lại vì A nằm giữa I và K (do A nằm trong EF). Với câu c, OO'KI là hình chữ nhật khi góc tại O cũng bằng 90°, tức OI ⊥ OO', mà OI ⊥ d, suy ra d // OO'.

Ứng dụng thực tế

Khi thợ xây muốn kiểm tra xem một khung cửa có phải hình chữ nhật không, họ dùng thước đo hai đường chéo — nếu bằng nhau thì là hình chữ nhật. Em có thể áp dụng tính chất hình chữ nhật tương tự để kiểm tra hình OO'KI trong bài này không?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương 5

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...