Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều và tính bán kính

a) Kẻ ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, CA. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực đó. Khi đó O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, bán kính bằng OA = OB = OC. b) Trong tam giác đều ABC, ba đường trung trực đồng thời là ba đường trung tuyến. Giao điểm của ba đường trung tuyến chính là trọng tâm. Do đó giao điểm O của ba đường trung trực cũng là trọng tâm của tam giác, tức là tâm O của đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm của tam giác đó. c) Tam giác ABC đều nên \(\widehat{ABC} = 60^\circ\). Vì tam giác ABC đều, BO vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác từ đỉnh B, nên: \[\widehat{OBM} = \frac{1}{2}\widehat{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ.\] Tam giác OBM vuông tại M (vì BO là đường trung trực của AC, đồng thời là đường cao từ B trong tam giác đều), áp dụng tỉ số lượng giác: \[\cos\widehat{OBM} = \frac{BM}{OB}\] \[\Rightarrow OB = \frac{BM}{\cos 30^\circ} = \frac{\dfrac{BC}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BC}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}BC.\]