Chứng minh đường tròn đường kính BC đi qua H, K và KH < BC
Đề bài:
Cho tam giác ABC không phải tam giác vuông. Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AC và từ C xuống AB. Chứng minh rằng:
a) Đường tròn đường kính BC đi qua cả hai điểm H và K.
b) KH < BC.
a) Vì K là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB nên góc BKC = 90°, tức tam giác BKC vuông tại K.
Trong tam giác vuông BKC, O là trung điểm cạnh huyền BC nên đường trung tuyến KO thỏa mãn:
\[KO = \frac{BC}{2} = OB = OC\]
Suy ra K nằm trên đường tròn tâm O đường kính BC. (1)
Vì H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AC nên góc BHC = 90°, tức tam giác BHC vuông tại H.
Trong tam giác vuông BHC, O là trung điểm cạnh huyền BC nên đường trung tuyến HO thỏa mãn:
\[HO = \frac{BC}{2} = OB = OC\]
Suy ra H nằm trên đường tròn tâm O đường kính BC. (2)
Từ (1) và (2), cả K và H đều thuộc đường tròn tâm O đường kính BC. (đpcm)
b) Vì tam giác ABC không phải tam giác vuông, K không trùng B hoặc C và H không trùng B hoặc C, nên KH là dây của đường tròn tâm O và KH không phải đường kính.
Trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất, do đó:
\[KH < BC\]
(đpcm)