Chứng minh ba tứ giác nội tiếp trong tam giác ABC

Xét tam giác OAB: vì OA = OB (bán kính đường tròn (O)) nên tam giác OAB cân tại O. P là trung điểm AB nên OP vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác OAB. Suy ra OP ⊥ AB, tức là góc OPA = góc OPB = 90°. Chứng minh tương tự: - Tam giác OBC cân tại O, M là trung điểm BC nên OM ⊥ BC, suy ra góc OMB = góc OMC = 90°. - Tam giác OCA cân tại O, N là trung điểm CA nên ON ⊥ CA, suy ra góc ONC = góc ONA = 90°. Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp: Góc OPA = 90° nên P nhìn đoạn OA dưới góc 90°, suy ra P nằm trên đường tròn đường kính OA. Góc ONA = 90° nên N nhìn đoạn OA dưới góc 90°, suy ra N nằm trên đường tròn đường kính OA. Cả O và A đều là đầu mút của đường kính nên thuộc đường tròn đó. Vậy bốn điểm A, N, O, P cùng nằm trên đường tròn đường kính OA, hay tứ giác ANOP nội tiếp. Chứng minh tứ giác BPOM nội tiếp: Góc OPB = 90° nên P nằm trên đường tròn đường kính OB. Góc OMB = 90° nên M nằm trên đường tròn đường kính OB. Vậy bốn điểm B, P, O, M cùng nằm trên đường tròn đường kính OB, hay tứ giác BPOM nội tiếp. Chứng minh tứ giác CMON nội tiếp: Góc OMC = 90° nên M nằm trên đường tròn đường kính OC. Góc ONC = 90° nên N nằm trên đường tròn đường kính OC. Vậy bốn điểm C, M, O, N cùng nằm trên đường tròn đường kính OC, hay tứ giác CMON nội tiếp.