Chứng minh ADBECF là lục giác đều

Lời giải: Vì A, B, C, D, E, F đều nằm trên đường tròn (O) nên: \[OA = OB = OC = OD = OE = OF = R\] Vì phép quay ngược chiều \(60^o\) tâm O biến A thành D, B thành E, C thành F nên: \[\widehat{AOD} = \widehat{BOE} = \widehat{COF} = 60^o\] Vì tam giác ABC đều nội tiếp (O), AO và BO là các đường phân giác của tam giác ABC, nên: \[\widehat{BAO} = \widehat{ABO} = \frac{1}{2}\widehat{ABC} = 30^o\] Trong tam giác OAB: \[\widehat{AOB} = 180^o - \widehat{BAO} - \widehat{ABO} = 180^o - 30^o - 30^o = 120^o\] Suy ra: \[\widehat{BOD} = \widehat{AOB} - \widehat{AOD} = 120^o - 60^o = 60^o\] Xét tam giác OAD: cân tại O (vì \(OA = OD\)) và \(\widehat{AOD} = 60^o\), nên tam giác OAD đều. Do đó: \[DA = AO = OD,\quad \widehat{DAO} = \widehat{ADO} = 60^o\] Tương tự, xét các tam giác còn lại: - Tam giác ODB đều: \(DO = OB = BD,\quad \widehat{ODB} = \widehat{OBD} = 60^o\) - Tam giác OBE đều: \(EO = OB = BE,\quad \widehat{OEB} = \widehat{OBE} = 60^o\) - Tam giác OEC đều: \(EO = OC = CE,\quad \widehat{OEC} = \widehat{OCE} = 60^o\) - Tam giác OCF đều: \(FO = OC = CF,\quad \widehat{OFC} = \widehat{OCF} = 60^o\) - Tam giác OFA đều: \(FO = OA = AF,\quad \widehat{OFA} = \widehat{OAF} = 60^o\) Từ đó suy ra: \[AD = BD = BE = EC = FC = FA\] Các góc trong của lục giác: \[\widehat{BDA} = \widehat{ODB} + \widehat{ODA} = 60^o + 60^o = 120^o\] Tương tự: \(\widehat{DAF} = \widehat{AFC} = \widehat{FCE} = \widehat{CEB} = \widehat{EBD} = 120^o\) Lục giác ADBECF có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc trong đều bằng \(120^o\), vậy ADBECF là lục giác đều.