Tìm tỉ số đoạn thẳng từ trọng tâm trên đường trung tuyến
Problem:
Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Tìm số thích hợp điền vào chỗ chấm để được các đẳng thức:
\( BG = \ldots BN, \quad CG = \ldots CP \)
\( BG = \ldots GN, \quad CG = \ldots GP \)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên theo định lí trọng tâm:
\[ BG = \dfrac{2}{3}BN, \quad CG = \dfrac{2}{3}CP \]
Tính GN:
\[ GN = BN - BG = BN - \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{1}{3}BN \]
Suy ra \(BN = 3GN\), do đó:
\[ BG = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{2}{3} \times 3GN = 2GN \]
Tính GP:
\[ GP = CP - CG = CP - \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{1}{3}CP \]
Suy ra \(CP = 3GP\), do đó:
\[ CG = \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{2}{3} \times 3GP = 2GP \]
Vậy:
\[ BG = \dfrac{2}{3}BN, \quad CG = \dfrac{2}{3}CP \]
\[ BG = 2GN, \quad CG = 2GP \]