Tìm vị trí điểm M để AM nhỏ nhất và chứng minh AM < AB trong tam giác cân
Problem:
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Lấy điểm M tùy ý nằm giữa B và C (H. 9.12).
a) Khi M thay đổi thì độ dài AM thay đổi. Xác định vị trí của điểm M để độ dài AM nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng với mọi vị trí của điểm M thì AM < AB.
a) Khi M thay đổi thì độ dài AM thay đổi. Xác định vị trí của điểm M để độ dài AM nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng với mọi vị trí của điểm M thì AM < AB.
a) Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ điểm A nằm ngoài đường thẳng BC đến BC, đường vuông góc AH là ngắn nhất. Do đó AM ngắn nhất khi M trùng với H, tức là M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.
b) Xét ba trường hợp:
Trường hợp 1: M trùng H.
Khi đó AM = AH. Vì AH là đường vuông góc còn AB là đường xiên kẻ từ A đến BC, đường vuông góc ngắn hơn đường xiên nên AH < AB, suy ra AM < AB.
Trường hợp 2: M nằm giữa B và H.
Góc AMB là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM, nên:
\(\widehat{AMB} > \widehat{AHM} = 90°\)
Vậy góc AMB là góc tù, tức là góc lớn nhất trong tam giác ABM.
Theo định lí quan hệ cạnh và góc đối diện, cạnh AB đối diện với góc lớn nhất nên AB là cạnh lớn nhất trong tam giác ABM.
Do đó AM < AB.
Trường hợp 3: M nằm giữa H và C.
Góc AMC là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AHM, nên:
\(\widehat{AMC} > \widehat{AHM} = 90°\)
Vậy góc AMC là góc tù, tức là góc lớn nhất trong tam giác ACM.
Theo định lí quan hệ cạnh và góc đối diện, cạnh AC đối diện với góc lớn nhất nên AC là cạnh lớn nhất trong tam giác ACM.
Do đó AM < AC.
Mà AB = AC (giả thiết), suy ra AM < AB.
Kết hợp cả ba trường hợp, với mọi vị trí M nằm giữa B và C đều có AM < AB. (đpcm)