Chứng minh tam giác bằng nhau và tam giác cân trong tam giác ABC cân tại A
Problem:
Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{A} = 120^\circ\). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA vuông góc với AB và NA vuông góc với AC. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta BAM = \Delta CAN\)
b) Các tam giác ANB và AMC lần lượt cân tại N và M.
a) Xét △BAM và △CAN có:
\(\widehat{BAM} = \widehat{CAN} = 90^\circ\) (MA ⊥ AB, NA ⊥ AC)
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
\(\widehat{B} = \widehat{C}\) (tam giác ABC cân tại A)
Do đó \(\Delta BAM = \Delta CAN\) (g.c.g)
b) Tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{A} = 120^\circ\) nên:
\[\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\]
Xét △ABM vuông tại A có:
\[\widehat{B} + \widehat{BAM} + \widehat{AMB} = 180^\circ\]
\[30^\circ + 90^\circ + \widehat{AMB} = 180^\circ\]
suy ra \(\widehat{AMB} = 60^\circ\)
Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên AM = AN (hai cạnh tương ứng).
Do đó △AMN cân tại A và có \(\widehat{AMN} = \widehat{AMB} = 60^\circ\), nên △AMN là tam giác đều.
Suy ra \(\widehat{NAM} = 60^\circ\).
Ta có: \(\widehat{BAN} + \widehat{NAM} = \widehat{BAM}\)
\[\widehat{BAN} + 60^\circ = 90^\circ\]
suy ra \(\widehat{BAN} = 30^\circ\)
Xét △ABN có \(\widehat{BAN} = \widehat{ABN} = 30^\circ\) nên △ABN cân tại N.
Ta có: \(\widehat{CAM} + \widehat{NAM} = \widehat{CAN}\)
\[\widehat{CAM} + 60^\circ = 90^\circ\]
suy ra \(\widehat{CAM} = 30^\circ\)
Xét △ACM có \(\widehat{CAM} = \widehat{ACM} = 30^\circ\) nên △ACM cân tại M.
Vậy △ANB cân tại N và △AMC cân tại M.