Chứng minh tam giác cân qua đường trung tuyến
Problem:
Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
AM vuông góc BC nên △AMB và △AMC là hai tam giác vuông tại M.
Xét △AMB và △AMC:
- AM là cạnh chung
- BM = CM (M là trung điểm BC)
Suy ra △AMB = △AMC (hai cạnh góc vuông).
Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng), vậy tam giác ABC cân tại A.
b)
Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) và MG vuông góc với AC (G thuộc AC).
Xét △AHM và △AGM:
- AM là cạnh huyền chung
- \(\widehat{HAM} = \widehat{GAM}\) (AM là tia phân giác của góc BAC)
Suy ra △AHM = △AGM (cạnh huyền – góc nhọn).
Do đó MH = MG (hai cạnh tương ứng).
Xét △BHM và △CGM:
- BM = CM (M là trung điểm BC)
- MH = MG (chứng minh trên)
Suy ra △BHM = △CGM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó \(\widehat{HBM} = \widehat{GCM}\) (hai góc tương ứng), tức là \(\widehat{B} = \widehat{C}\).
Vậy tam giác ABC cân tại A.