Chứng minh trọng tâm chia tam giác thành ba phần bằng nhau
Problem:
Kí hiệu \(S_{ABC}\) là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.
a) Chứng minh \(S_{GBC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\).
Gợi ý: Dùng \(GM = \dfrac{1}{3}AM\) để chứng minh \(S_{GMB} = \dfrac{1}{3}S_{ABM}\) và \(S_{GMC} = \dfrac{1}{3}S_{ACM}\).
b) Chứng minh \(S_{GCA} = S_{GAB} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\).
a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \dfrac{1}{3}AM\).
Kẻ \(BP \perp AM\), ta có:
\[S_{GMB} = \dfrac{1}{2}BP \cdot GM, \quad S_{ABM} = \dfrac{1}{2}BP \cdot AM\]
Suy ra:
\[\dfrac{S_{GMB}}{S_{ABM}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BP \cdot GM}{\dfrac{1}{2}BP \cdot AM} = \dfrac{GM}{AM} = \dfrac{1}{3}\]
nên \(S_{GMB} = \dfrac{1}{3}S_{ABM}\) ... (1)
Tương tự, kẻ \(CN \perp AM\), ta có:
\[S_{GMC} = \dfrac{1}{2}CN \cdot GM, \quad S_{ACM} = \dfrac{1}{2}CN \cdot AM\]
Suy ra:
\[\dfrac{S_{GMC}}{S_{ACM}} = \dfrac{GM}{AM} = \dfrac{1}{3}\]
nên \(S_{GMC} = \dfrac{1}{3}S_{ACM}\) ... (2)
Cộng vế theo vế của (1) và (2):
\[S_{GMB} + S_{GMC} = \dfrac{1}{3}(S_{ABM} + S_{ACM})\]
\[S_{GBC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\]
b) Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta CNM\) có:
- \(\widehat{BPM} = \widehat{CNM} = 90^\circ\)
- \(BM = CM\) (M là trung điểm của BC)
- \(\widehat{PMB} = \widehat{NMC}\) (hai góc đối đỉnh)
nên \(\Delta BPM = \Delta CNM\) (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra \(BP = CN\).
Vì \(S_{GAB} = \dfrac{1}{2}BP \cdot AG\) và \(S_{GAC} = \dfrac{1}{2}CN \cdot AG\), mà \(BP = CN\), nên:
\[S_{GAB} = S_{GAC}\]
Ta có:
\[S_{ABC} = S_{GAB} + S_{GAC} + S_{GBC}\]
\[S_{ABC} = S_{GAB} + S_{GAB} + \dfrac{1}{3}S_{ABC}\]
\[S_{ABC} - \dfrac{1}{3}S_{ABC} = 2S_{GAB}\]
\[\dfrac{2}{3}S_{ABC} = 2S_{GAB}\]
\[S_{GAB} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\]
Vậy \(S_{GCA} = S_{GAB} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\).