Chứng minh tam giác cân, đều và trung điểm trong tam giác vuông
Problem:
Cho tam giác ABC vuông tại A có \ \(\widehat{B} = 60°\). Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho \(\widehat{CAM} = 30°\). Chứng minh rằng:
a) Tam giác CAM cân tại M;
b) Tam giác BAM là tam giác đều;
c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Xét tam giác ABC có:
\[\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\]
\[90° + 60° + \widehat{C} = 180°\]
\[\widehat{C} = 30°\]
Xét tam giác CAM: \(\widehat{CAM} = \widehat{C} = 30°\).
Vì tam giác CAM có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác CAM cân tại M.
b) Xét tam giác CAM:
\[\widehat{C} + \widehat{CMA} + \widehat{CAM} = 180°\]
\[30° + \widehat{CMA} + 30° = 180°\]
\[\widehat{CMA} = 120°\]
Vì M nằm trên BC nên góc BMA và góc CMA kề bù:
\[\widehat{BMA} = 180° - \widehat{CMA} = 180° - 120° = 60°\]
Xét tam giác ABM:
\[\widehat{B} + \widehat{BMA} + \widehat{BAM} = 180°\]
\[60° + 60° + \widehat{BAM} = 180°\]
\[\widehat{BAM} = 60°\]
Vì \(\widehat{BAM} = \widehat{BMA} = \widehat{ABM} = 60°\) nên tam giác ABM đều.
c) Vì tam giác ABM đều nên \(AB = BM = AM\).
Vì tam giác CAM cân tại M nên \(MA = MC\).
Suy ra \(MB = MA = MC\), tức là \(MB = MC\).
Mà M nằm giữa B và C, do đó M là trung điểm của BC.