Suy ra các tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức cho trước

Từ \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), theo tính chất tỉ lệ thức, ta có: \(a \cdot d = b \cdot c\). Từ đẳng thức \(a \cdot d = b \cdot c\), chia cả hai vế cho \(b \cdot d\): \[\dfrac{a \cdot d}{b \cdot d} = \dfrac{b \cdot c}{b \cdot d} \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\] (tỉ lệ thức ban đầu, đúng). Chia cả hai vế cho \(a \cdot c\): \[\dfrac{a \cdot d}{a \cdot c} = \dfrac{b \cdot c}{a \cdot c} \Rightarrow \dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}\] Chia cả hai vế cho \(a \cdot d\): \[\dfrac{a \cdot d}{a \cdot d} = \dfrac{b \cdot c}{a \cdot d} \Rightarrow 1 = \dfrac{b \cdot c}{a \cdot d}\] Tức là \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\) (vì \(a \cdot d = b \cdot c\) suy ra \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\)). Chia cả hai vế cho \(b \cdot c\): \[\dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} = 1 \Rightarrow \dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}\] Vậy từ \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), suy ra được ba tỉ lệ thức: \[\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}; \quad \dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}; \quad \dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}\]