Chứng minh tứ giác BPCD là hình bình hành và tính số đo góc

a) Vì AP = 2AB và B nằm giữa A và P nên: \[ BP = AP - AB = 2AB - AB = AB \] Trong hình bình hành ABCD: AB // CD và AB = CD. Suy ra BP // CD và BP = CD (cùng bằng AB). Tứ giác BPCD có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên BPCD là hình bình hành. b) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AB = AD và \(\widehat{BAD} = 90°\). Trong hình bình hành ABCD, góc A = 90° và AB = AD, suy ra ABCD là hình vuông. Vì ABCD là hình vuông, đường chéo BD là phân giác của \(\widehat{ABC}\), nên: \[ \widehat{DBC} = \frac{90°}{2} = 45° \] Góc CBP chính là \(\widehat{ABC} = 90°\) (góc của hình vuông), do đó: \[ \widehat{DBP} = \widehat{DBC} + \widehat{CBP} = 45° + 90° = 135° \] Vì BPCD là hình bình hành, hai góc đối bằng nhau: \[ \widehat{PCD} = \widehat{DBP} = 135° \] Vì BD // PC (tính chất hình bình hành), \(\widehat{BPC}\) và \(\widehat{ABD}\) là hai góc đồng vị: \[ \widehat{BPC} = \widehat{ABD} = 45° \] Trong hình bình hành BPCD, hai góc đối bằng nhau: \[ \widehat{BDC} = \widehat{BPC} = 45° \] Vậy bốn góc của tứ giác BPCD là: \(\widehat{DBP} = 135°\), \(\widehat{PCD} = 135°\), \(\widehat{BPC} = 45°\), \(\widehat{BDC} = 45°\).