a) Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{B} = \widehat{C}\) (1)
Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) nên \(\widehat{A} = \widehat{M},\ \widehat{B} = \widehat{N},\ \widehat{C} = \widehat{P}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{N} = \widehat{P}\), do đó tam giác MNP cân tại M.
b) Tam giác ABC đều nên \(\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60^o\) (3)
Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) nên \(\widehat{A} = \widehat{M},\ \widehat{B} = \widehat{N},\ \widehat{C} = \widehat{P}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{M} = \widehat{N} = \widehat{P} = 60^o\), do đó tam giác MNP là tam giác đều.
c) Trong tam giác ABC có \(AB \ge AC \ge BC\). Theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, cạnh lớn hơn đối diện với góc lớn hơn, nên:
\[\widehat{C} \ge \widehat{B} \ge \widehat{A} \quad (5)\]
Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) nên \(\widehat{A} = \widehat{M},\ \widehat{B} = \widehat{N},\ \widehat{C} = \widehat{P}\) (6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat{P} \ge \widehat{N} \ge \widehat{M}\).
Lại áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác MNP: cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn. Góc \(\widehat{P}\) đối diện cạnh MN, góc \(\widehat{N}\) đối diện cạnh MP, góc \(\widehat{M}\) đối diện cạnh NP, nên:
\[MN \ge MP \ge NP\]
