Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?
a) \(a\left( {a + 2b} \right) = {a^2} + 2ab\)
b) \(a + 1 = 3a - 1\)
Phân tích bài toán
Tóm tắt đề bài
Cho hai đẳng thức, cần xác định đẳng thức nào là hằng đẳng thức.
Kiến thức cần dùng
Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị của các biến. Muốn kiểm tra, em thay một vài giá trị số cụ thể vào hai vế rồi so sánh. Nếu tìm được một giá trị làm hai vế khác nhau thì đó không phải hằng đẳng thức. Ngoài ra, có thể biến đổi đại số một vế để kiểm tra xem hai vế có bằng nhau với mọi giá trị không.
Phương pháp giải
Có một cách chính: với mỗi đẳng thức, thực hiện biến đổi vế trái (hoặc vế phải) bằng quy tắc nhân đa thức, sau đó so sánh hai vế. Nếu hai vế luôn bằng nhau thì là hằng đẳng thức; nếu chỉ đúng với một số giá trị cụ thể thì không phải.
Ứng dụng thực tế
Nếu em biết giá một cái bút là \(a\) nghìn đồng và mua \(a + 2b\) cái bút, tổng tiền có luôn bằng \(a^2 + 2ab\) nghìn đồng không?
Gợi ý (0/3)
Gợi ý 1:
Hằng đẳng thức phải đúng với mọi giá trị của biến, không chỉ một vài trường hợp riêng lẻ. Em thử thay một vài số cụ thể vào từng đẳng thức để kiểm tra.
Gợi ý 2:
Với câu a), em khai triển vế trái: \(a(a + 2b) = a \cdot a + a \cdot 2b\). Kết quả có giống vế phải không? Với câu b), em thử thay \(a = 2\) vào hai vế xem hai vế có bằng nhau không.
Gợi ý 3:
Câu b): Vế trái khi \(a = 2\) là \(2 + 1 = 3\), vế phải là \(3 \cdot 2 - 1 = 5\). Hai vế khác nhau, vậy đẳng thức b) không đúng với mọi \(a\), tức là không phải hằng đẳng thức.
Lời giải chi tiết
a) Khai triển vế trái: \(a\left( {a + 2b} \right) = a \cdot a + a \cdot 2b = {a^2} + 2ab\)
Vế trái bằng vế phải với mọi giá trị của \(a\) và \(b\), nên \(a\left( {a + 2b} \right) = {a^2} + 2ab\) là hằng đẳng thức.
b) Thay \(a = 2\) vào hai vế:
Vế trái: \(2 + 1 = 3\)
Vế phải: \(3 \cdot 2 - 1 = 5\)
Hai vế không bằng nhau khi \(a = 2\), nên \(a + 1 = 3a - 1\) không phải hằng đẳng thức.
Các bài tập cùng bài học— Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu