Chứng minh tứ giác là hình thang cân khi có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét ∆ABC và ∆BAD có: - AD = BC (giả thiết) - AC = BD (giả thiết) - Cạnh AB chung Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c). Suy ra \(\widehat{ADB} = \widehat{ACB}\) (hai góc tương ứng). Xét ∆ADC và ∆BDC có: - AD = BC (giả thiết) - AC = BD (giả thiết) - Cạnh CD chung Do đó ∆ADC = ∆BDC (c.c.c). Suy ra \(\widehat{DAC} = \widehat{CBD}\) (hai góc tương ứng). Xét ∆OAD và ∆OBC có: - \(\widehat{ADB} = \widehat{ACB}\) (chứng minh trên) - AD = BC (giả thiết) - \(\widehat{DAC} = \widehat{CBD}\) (chứng minh trên) Do đó ∆OAD = ∆OBC (g.c.g). Suy ra OA = OB và OC = OD (các cặp cạnh tương ứng). Vì OA = OB nên ∆OAB cân tại O, suy ra \(\widehat{OAB} = \widehat{OBA}\). Vì OC = OD nên ∆OCD cân tại O, suy ra \(\widehat{OCD} = \widehat{ODC}\). Xét ∆OAB và ∆OCD: - \(\widehat{AOB} = \widehat{COD}\) (hai góc đối đỉnh) - Tổng ba góc trong mỗi tam giác bằng 180°: \[\widehat{OAB} + \widehat{OBA} + \widehat{AOB} = \widehat{OCD} + \widehat{ODC} + \widehat{COD} = 180°\] Vì \(\widehat{AOB} = \widehat{COD}\) và \(\widehat{OAB} = \widehat{OBA}\), \(\widehat{OCD} = \widehat{ODC}\), ta có: \[2\widehat{OAB} = 2\widehat{OCD} \Rightarrow \widehat{OAB} = \widehat{OCD}\] Hai góc \(\widehat{OAB}\) và \(\widehat{OCD}\) ở vị trí so le trong (so với cát tuyến AC cắt AB và CD), do đó AB // CD. Tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang. Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD nên ABCD là hình thang cân. Vậy nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là hình thang cân.