Chứng minh tam giác vuông và tính diện tích qua đường cao

Đề bài:

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH = 12 cm, CH = 9 cm, BH = 16 cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH và BH. a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Chứng minh MN ⊥ AC và CM ⊥ AN. c) Tính diện tích tam giác AMN.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Tam giác ABC có đường cao AH = 12 cm, CH = 9 cm, BH = 16 cm. M, N là trung điểm của AH và BH. Cần chứng minh góc A = 90°, hai đường vuông góc MN ⊥ AC và CM ⊥ AN, sau đó tính diện tích tam giác AMN.

Kiến thức cần dùng

Định lý Pythagore (trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông). Định lý đảo của Pythagore. Tính chất đường trung bình trong tam giác (đường trung bình song song và bằng nửa cạnh đáy). Tính chất trực tâm tam giác (giao điểm của hai đường cao là trực tâm, từ đó suy ra đường thứ ba cũng là đường cao). Công thức diện tích tam giác: \(S = \dfrac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}\).

Phương pháp giải

Có một cách giải xuyên suốt. Phần a: tính AB, AC theo Pythagore trong hai tam giác vuông AHB và AHC, tính BC = BH + CH, rồi kiểm tra \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) để kết luận vuông tại A. Phần b: nhận ra MN là đường trung bình của tam giác AHB để suy ra MN // AB, kết hợp AB ⊥ AC để được MN ⊥ AC; sau đó dùng tính chất trực tâm của tam giác ACN để suy ra CM ⊥ AN. Phần c: diện tích tam giác AMN được tính qua hai cạnh góc vuông AM và HN (vì MN ⊥ AH tại H, nên HN là chiều cao ứng với đáy AM trong tam giác vuông AMN).

Ứng dụng thực tế

Khi thợ xây dựng muốn kiểm tra một góc tường có thực sự vuông hay không, họ đo ba cạnh rồi kiểm tra hệ thức Pythagore — giống hệt cách em vừa chứng minh góc A = 90° từ ba độ dài AB, AC, BC.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương 9

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...