Chứng minh hình thang ABCD là hình thang cân
Đề bài:
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.
Xét ∆DOE và ∆COE có:
\(\widehat{ODE} = \widehat{OCE} = 90^o\) (vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE)
EC = ED (giả thiết)
Cạnh OE chung
Do đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng).
Vậy tam giác OCD cân tại O, nên \(\widehat{C_1} = \widehat{D_1}\).
Vì AB // CD nên \(\widehat{A_1} = \widehat{C_1}\) và \(\widehat{B_1} = \widehat{D_1}\) (cặp góc so le trong).
Mà \(\widehat{C_1} = \widehat{D_1}\) nên \(\widehat{A_1} = \widehat{B_1}\).
Vậy tam giác OAB cân tại O, suy ra OA = OB.
Từ OA = OB và OC = OD:
\[OA + OC = OB + OD \Rightarrow AC = BD\]
Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD nên ABCD là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).