Chứng minh hai tam giác đồng dạng ΔHBM và ΔHAN

Xét \(\Delta BAC\) và \(\Delta BHA\) có: \(\widehat{A} = \widehat{H} = 90^\circ\) \(\widehat{B}\) chung nên \(\Delta BAC \backsim \Delta BHA\) (g.g) Suy ra \(\frac{BA}{BH} = \frac{AC}{HA}\), do đó: \[\frac{HB}{HA} = \frac{BA}{AC} \quad (1)\] Xét \(\Delta BAC\) và \(\Delta AHC\) có: \(\widehat{A} = \widehat{H} = 90^\circ\) \(\widehat{C}\) chung nên \(\Delta BAC \backsim \Delta AHC\) (g.g) Suy ra: \[\widehat{HAC} = \widehat{ABC} \quad (2)\] Vì M là trung điểm của AB nên \(BM = \frac{BA}{2}\), suy ra \(\frac{BM}{BA} = \frac{1}{2}\). Vì N là trung điểm của AC nên \(AN = \frac{AC}{2}\), suy ra \(\frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}\). Do đó \(\frac{BM}{BA} = \frac{AN}{AC}\), suy ra: \[\frac{BM}{AN} = \frac{BA}{AC} \quad (3)\] Từ (1) và (3) suy ra: \[\frac{HB}{HA} = \frac{BM}{AN}\] Xét \(\Delta HBM\) và \(\Delta HAN\) có: \(\widehat{HBM} = \widehat{HAC} = \widehat{HAN}\) (từ (2)) \(\frac{HB}{HA} = \frac{BM}{AN}\) Suy ra \(\Delta HBM \backsim \Delta HAN\) (c.g.c). (đpcm)