Xác định dạng tứ giác AEDF trong tam giác ABC
Đề bài:
Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E và F.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?
c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?
d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?
a) Tứ giác AEDF có AE // DF (vì DE được kẻ song song với AB, nên DF // AE) và AF // DE (vì EF được kẻ song song với AC, nên AF // DE).
Vì có hai cặp cạnh đối song song nên tứ giác AEDF là hình bình hành.
b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi đường chéo AD là tia phân giác của góc BAC (vì trong hình bình hành, đường chéo là phân giác của góc tại đỉnh thì hình đó là hình thoi).
Tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác từ A đồng thời là đường trung tuyến từ A xuống BC.
Do đó, AD là tia phân giác của góc A khi và chỉ khi D là trung điểm của BC.
Vậy D là trung điểm của BC thì AEDF là hình thoi.
c) Góc EAF chính là góc A của tam giác ABC. Nếu tam giác ABC vuông tại A thì góc A = 90°, tức là hình bình hành AEDF có một góc vuông.
Vậy AEDF là hình chữ nhật.
d) AEDF là hình vuông khi nó vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.
Theo câu c), AEDF là hình chữ nhật khi tam giác ABC vuông tại A — điều này đã có vì tam giác ABC vuông cân tại A.
Theo câu b), AEDF là hình thoi khi D là trung điểm của BC (vì tam giác ABC cân tại A).
Vậy khi tam giác ABC vuông cân tại A và D là trung điểm của BC thì AEDF là hình vuông.