Xác định dạng tứ giác AMCP và điều kiện để là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông

a) Tứ giác AMCP có hai đường chéo là AC và MP. N là trung điểm của AC (vì N là trung điểm cạnh AC của tam giác ABC). N là trung điểm của MP (theo giả thiết). Vậy hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại N là trung điểm của mỗi đường. Do đó tứ giác AMCP là hình bình hành. b) Xét ∆MAN và ∆PCN: - AN = NC (N là trung điểm AC) - \(\widehat{ANM} = \widehat{CNP}\) (hai góc đối đỉnh) - MN = NP (N là trung điểm MP) Do đó ∆MAN = ∆PCN (c.g.c). Suy ra \(\widehat{MAN} = \widehat{PCN}\) (hai góc tương ứng). Hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // CP, tức BM // CP. Mặt khác, AM = CP (hai cạnh tương ứng) và AM = BM (M là trung điểm AB), nên BM = CP. Tứ giác BMCP có BM // CP và BM = CP nên BMCP là hình bình hành, suy ra BC = MP. Hình bình hành AMCP là hình chữ nhật: Để AMCP là hình chữ nhật thì AC = MP. Mà BC = MP (vì BMCP là hình bình hành), nên AC = BC. Vậy tam giác ABC cân tại C thì AMCP là hình chữ nhật. Hình bình hành AMCP là hình thoi: Để AMCP là hình thoi thì AM = CM. Mà \(AM = BM = \dfrac{AB}{2}\), nên \(CM = \dfrac{AB}{2}\). Trong tam giác ABC, CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB. Khi \(CM = \dfrac{AB}{2}\) thì tam giác ABC vuông tại C. Vậy tam giác ABC vuông tại C thì AMCP là hình thoi. Hình bình hành AMCP là hình vuông: Để AMCP là hình vuông thì AMCP vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi, tức tam giác ABC vừa cân tại C vừa vuông tại C. Vậy tam giác ABC vuông cân tại C thì AMCP là hình vuông.