a) Ta có: \(AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = BC^2\)
Suy ra tam giác ABC vuông tại A, tức là AC ⊥ AB.
Mà MP ⊥ AB (theo đề bài), nên MP // AC (cùng vuông góc với AB).
Vì MP // AC, góc \(\widehat{BMP}\) và góc \(\widehat{MCN}\) là hai góc đồng vị, do đó \(\widehat{BMP} = \widehat{MCN}\).
Xét ΔBMP (vuông tại P) và ΔMCN (vuông tại N) có:
- \(\widehat{BPM} = \widehat{MNC} = 90°\)
- \(\widehat{BMP} = \widehat{MCN}\)
Do đó ΔBMP ∽ ΔMCN (g.g).
b) Vì MP // AC, xét ΔBMP và ΔBAC có MP // AC, suy ra:
\[\frac{BM}{BC} = \frac{PM}{AC}\]
\[\frac{4}{10} = \frac{PM}{8}\]
\[PM = 8 \times \frac{4}{10} = 3{,}2 \text{ (cm)}\]
Áp dụng định lý Pythagore trong ΔBMP vuông tại P:
\[BP^2 = BM^2 - PM^2 = 4^2 - 3{,}2^2 = 16 - 10{,}24 = 5{,}76\]
\[BP = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4 \text{ (cm)}\]
Suy ra: \(AP = AB - BP = 6 - 2{,}4 = 3{,}6 \text{ (cm)}\)
Áp dụng định lý Pythagore trong ΔAMP vuông tại P:
\[AM = \sqrt{AP^2 + PM^2} = \sqrt{3{,}6^2 + 3{,}2^2} = \sqrt{12{,}96 + 10{,}24} = \sqrt{23{,}2} \approx 4{,}82 \text{ (cm)}\]
