Chứng minh tính chất đường trung bình trong tam giác vuông
Đề bài:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
a) Chứng minh rằng AE = DF.
b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.
Tam giác ABC vuông tại A, nên \(\widehat{BAC} = 90^o\), tức AB ⊥ AC.
D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra DE // AC.
Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ DE, tức \(\widehat{ADE} = 90^o\).
E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra EF // AB.
Mà AB ⊥ AC nên EF ⊥ AC, tức \(\widehat{AEF} = 90^o\).
Tứ giác ADEF có \(\widehat{BAC} = 90^o\), \(\widehat{ADE} = 90^o\), \(\widehat{AEF} = 90^o\) nên ADEF là hình chữ nhật.
Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau, suy ra AE = DF. (đpcm)
Câu b.
Vì D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra DF // BC, mà E nằm trên BC nên DF // BE.
Vì ADEF là hình chữ nhật nên AD // EF, tức BD // EF.
Tứ giác BDFE có DF // BE và BD // EF, nên BDFE là hình bình hành.
Hai đường chéo của hình bình hành BDFE là BF và DE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
I là trung điểm của DE (theo đề bài), nên I cũng là trung điểm của BF.
Vậy ba điểm B, I, F thẳng hàng. (đpcm)