Xác định hình dạng tứ giác và vị trí để NP ngắn nhất trong tam giác vuông cân
Đề bài:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm trên cạnh huyền BC. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB và AC.
a) Tứ giác MPAN là hình gì?
b) M ở vị trí nào thì đoạn thẳng NP ngắn nhất? Giải thích vì sao.
a) Xét tứ giác MPAN:
- Góc NAP = 90° vì tam giác ABC vuông tại A.
- Góc APM = 90° vì MP là hình chiếu vuông góc của M lên AC, tức MP ⊥ AC.
- Góc MNA = 90° vì MN là hình chiếu vuông góc của M lên AB, tức MN ⊥ AB.
Tứ giác MPAN có 3 góc vuông nên MPAN là hình chữ nhật.
b) Hình chữ nhật MPAN có hai đường chéo AM và NP. Theo tính chất hình chữ nhật: AM = NP.
Vậy NP ngắn nhất khi AM ngắn nhất.
AM ngắn nhất khi AM vuông góc với BC, tức AM là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A xuống BC.
Tam giác ABC vuông cân tại A nên đường cao từ A xuống BC cũng là đường trung tuyến của BC.
Do đó M là trung điểm của BC.
Vậy khi M là trung điểm của BC thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất.