Tối ưu lợi nhuận kinh doanh máy điều hòa

Gọi x là số máy điều hòa hai chiều và y là số máy điều hòa một chiều cần nhập, với \( x, y \in \mathbb{N} \). Từ các điều kiện thực tế, ta có hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} x + y \le 100 \\ 20x + 10y \le 1200 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} \] Bất phương trình thứ hai rút gọn thành \( 2x + y \le 120 \). Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, ta được miền tứ giác OABC với các đỉnh: - O(0; 0) - A(0; 100) - B là giao điểm của \( x + y = 100 \) và \( 2x + y = 120 \) - C(60; 0) Tìm tọa độ B: Trừ hai phương trình \( 2x + y = 120 \) và \( x + y = 100 \), được \( x = 20 \), suy ra \( y = 80 \). Vậy B(20; 80). Hàm lợi nhuận: \( T = 3{,}5x + 2y \) (triệu đồng). Tính T tại từng đỉnh: - Tại O(0; 0): \( T = 3{,}5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 \) triệu đồng. - Tại A(0; 100): \( T = 3{,}5 \cdot 0 + 2 \cdot 100 = 200 \) triệu đồng. - Tại B(20; 80): \( T = 3{,}5 \cdot 20 + 2 \cdot 80 = 70 + 160 = 230 \) triệu đồng. - Tại C(60; 0): \( T = 3{,}5 \cdot 60 + 2 \cdot 0 = 210 \) triệu đồng. Giá trị lớn nhất là 230 triệu đồng, đạt được tại B(20; 80). Vậy cửa hàng cần nhập 20 máy điều hòa hai chiều và 80 máy điều hòa một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất, đạt 230 triệu đồng.