a) Đồng bằng sông Hồng:
Sắp xếp tăng dần: 23 27 34 35 37 39 46 54 57 57 187
n = 11.
Số trung bình: \(\overline{X} = \frac{23+27+34+35+37+39+46+54+57+57+187}{11} = \frac{596}{11} \approx 54,18\).
Trung vị: giá trị thứ 6 = 39. Vậy \(Q_2 = 39\).
Tứ phân vị:
- Nửa trái (5 giá trị): 23 27 34 35 37 → \(Q_1 = 34\).
- Nửa phải (5 giá trị): 46 54 57 57 187 → \(Q_3 = 57\).
Mốt: 57 (xuất hiện 2 lần).
Khoảng biến thiên: \(R = 187 - 23 = 164\).
Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 57 - 34 = 23\).
Bảng tính độ lệch chuẩn (\(\overline{X} \approx 54,18\)):
| Giá trị | Độ lệch | Bình phương độ lệch |
|---------|---------|---------------------|
| 23 | 31,18 | 972,19 |
| 27 | 27,18 | 738,75 |
| 34 | 20,18 | 407,23 |
| 35 | 19,18 | 367,87 |
| 37 | 17,18 | 295,15 |
| 39 | 15,18 | 230,43 |
| 46 | 8,18 | 66,91 |
| 54 | 0,18 | 0,03 |
| 57 | 2,82 | 7,95 |
| 57 | 2,82 | 7,95 |
| 187 | 132,82 | 17640,95 |
| Tổng | | 20735,41 |
Phương sai: \(s^2 = \frac{20735,41}{11} \approx 1885,04\).
Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt{1885,04} \approx 43,42\).
(Lưu ý: SGK gốc ghi độ lệch chuẩn là 144, tuy nhiên kết quả tính lại từ bảng cho \(s \approx 43,42\). Giá trị SGK có thể do làm tròn khác nhau.)
Đồng bằng sông Cửu Long:
Sắp xếp tăng dần: 15 19 23 24 24 24 26 29 33 33 34 39 42
n = 13.
Số trung bình: \(\overline{X} = \frac{15+19+23+24+24+24+26+29+33+33+34+39+42}{13} = \frac{365}{13} \approx 28,08\).
Trung vị: giá trị thứ 7 = 26. Vậy \(Q_2 = 26\).
Tứ phân vị:
- Nửa trái (6 giá trị): 15 19 23 24 24 24 → \(Q_1 = \frac{23+24}{2} = 23,5\).
- Nửa phải (6 giá trị): 29 33 33 34 39 42 → \(Q_3 = \frac{33+34}{2} = 33,5\).
Mốt: 24 (xuất hiện 3 lần).
Khoảng biến thiên: \(R = 42 - 15 = 27\).
Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 33,5 - 23,5 = 10\).
Bảng tính độ lệch chuẩn (\(\overline{X} \approx 28,08\)):
| Giá trị | Độ lệch | Bình phương độ lệch |
|---------|---------|---------------------|
| 15 | 13,08 | 171,09 |
| 19 | 9,08 | 82,45 |
| 23 | 5,08 | 25,81 |
| 24 | 4,08 | 16,65 |
| 24 | 4,08 | 16,65 |
| 24 | 4,08 | 16,65 |
| 26 | 2,08 | 4,33 |
| 29 | 0,92 | 0,85 |
| 33 | 4,92 | 24,21 |
| 33 | 4,92 | 24,21 |
| 34 | 5,92 | 35,05 |
| 39 | 10,92 | 119,25 |
| 42 | 13,92 | 193,77 |
| Tổng | | 730,97 |
Phương sai: \(s^2 = \frac{730,97}{13} \approx 56,23\).
Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt{56,23} \approx 7,50\).
b) Mẫu Đồng bằng sông Hồng có giá trị bất thường là 187 (cao hơn hẳn so với các giá trị còn lại). Giá trị này kéo số trung bình lên rất cao (khoảng 54), trong khi phần lớn các giá trị thực tế chỉ nằm quanh 35–57. Ở Đồng bằng sông Cửu Long không có giá trị bất thường nên số trung bình phản ánh đúng hơn xu thế của dữ liệu (khoảng 28).
Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường vì nó chỉ phụ thuộc vào vị trí của giá trị chính giữa sau khi sắp xếp, không phụ thuộc vào độ lớn của các giá trị ngoài cùng. Vì vậy trung vị của hai mẫu gần nhau (39 và 26 — cũng có chênh lệch nhưng ít hơn nhiều so với trung bình).
c) Khoảng biến thiên \(R\) phụ thuộc trực tiếp vào giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Giá trị bất thường 187 làm \(R\) của mẫu sông Hồng lên tới 164, trong khi sông Cửu Long chỉ là 27. Độ lệch chuẩn \(s\) tính bình phương độ lệch của mọi giá trị so với trung bình, nên giá trị bất thường làm \(s\) tăng mạnh.
Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) chỉ đo độ phân tán của 50% giá trị ở phần giữa của mẫu (từ \(Q_1\) đến \(Q_3\)), không chịu ảnh hưởng của các giá trị cực đoan ở hai đầu. Vì vậy \(\Delta_Q\) của hai mẫu không khác nhau nhiều (23 và 10).
