Chứng minh hệ thức lượng giác cơ bản sin²α + cos²α = 1

Gọi M(x; y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM} = \alpha\). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox. Theo định nghĩa sin và cos trên đường tròn đơn vị: \[\left\{ \begin{array}{l} x = \cos\alpha \\ y = \sin\alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\cos^2}\alpha = x^2 \\ {\sin^2}\alpha = y^2 \end{array} \right. \quad (1)\] Mặt khác, từ hình vẽ: \[\left\{ \begin{array}{l} ON = |x| \\ MN = |y| \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 = ON^2 \\ y^2 = MN^2 \end{array} \right. \quad (2)\] Tam giác OMN vuông tại N nên theo định lý Pythagore: \[ON^2 + MN^2 = OM^2\] Từ (1) và (2): \[{\sin^2}\alpha + {\cos^2}\alpha = ON^2 + MN^2 = OM^2\] Vì M nằm trên đường tròn đơn vị nên \(OM = 1\), suy ra: \[{\sin^2}\alpha + {\cos^2}\alpha = 1 \quad (\text{đpcm})\]