Cho hyperbol có phương trình \(\dfrac{x^2}{7} - \dfrac{y^2}{9} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hyperbol.
Phân tích bài toán
Tóm tắt đề bài
Cho phương trình hyperbol dạng chuẩn, cần tính tọa độ hai tiêu điểm và độ dài tiêu cự.
Kiến thức cần dùng
Với hyperbol \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), ta có \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). Hai tiêu điểm là \(F_1(-c;\,0)\) và \(F_2(c;\,0)\). Tiêu cự bằng \(F_1F_2 = 2c\).
Phương pháp giải
Đọc trực tiếp \(a^2\) và \(b^2\) từ phương trình, tính \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), sau đó ghi tọa độ hai tiêu điểm và tính tiêu cự.
Ứng dụng thực tế
Một vệ tinh bay theo quỹ đạo hypebol quanh Trái Đất, biết phương trình quỹ đạo cho trước — em có thể xác định được vị trí tiêu điểm, tức là vị trí tâm hút chính của quỹ đạo đó.
Gợi ý (0/3)
Gợi ý 1:
Nhìn vào phương trình \(\dfrac{x^2}{7} - \dfrac{y^2}{9} = 1\), em đọc ngay được \(a^2 = 7\) và \(b^2 = 9\).
Gợi ý 2:
Tính \(c\) theo công thức \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7 + 9}\). Vì trục thực nằm trên trục \(Ox\), hai tiêu điểm có dạng \((-c;\,0)\) và \((c;\,0)\).
Gợi ý 3:
Tiêu cự chính là khoảng cách giữa hai tiêu điểm: \(F_1F_2 = 2c\). Thay \(c\) vừa tính được là xong.
Lời giải chi tiết
Từ phương trình \(\dfrac{x^2}{7} - \dfrac{y^2}{9} = 1\), ta có \(a^2 = 7,\; b^2 = 9\).
Tính \(c\):
\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4.\]
Vậy hyperbol có hai tiêu điểm là \(F_1(-4;\,0)\) và \(F_2(4;\,0)\).
Tiêu cự: \(F_1F_2 = 2c = 2 \cdot 4 = 8\).