Xác định bề rộng Đảo Yến bằng định lí sin

Đặt vị trí quan sát tại điểm A trên bờ. Gọi BC là chiều rộng cần tính của đảo, H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BC. Trên tia đối của tia AH, lấy điểm M sao cho AM = a (đo trực tiếp được trên bờ). Tại A, dùng dụng cụ đo góc xác định: \(\widehat{BAC} = \alpha\), \(\widehat{HAC} = \beta\). Tại M, đo góc: \(\widehat{HMC} = \gamma\). Bước 1 — Tính AC bằng định lí sin trong tam giác AMC. Vì H nằm trên tia đối của tia AH nên \(\widehat{MAC} = 180^\circ - \beta\). Do đó: \(\widehat{ACM} = 180^\circ - \gamma - (180^\circ - \beta) = \beta - \gamma\). Áp dụng định lí sin: \[\frac{AC}{\sin \widehat{AMC}} = \frac{AM}{\sin \widehat{ACM}} \Rightarrow AC = \frac{a \sin\gamma}{\sin(\beta - \gamma)}\] Bước 2 — Tính BC bằng định lí sin trong tam giác ABC. Vì AH vuông góc BC nên \(\widehat{ABC} = 90^\circ - \widehat{HAB} = 90^\circ - (\alpha - \beta)\). Áp dụng định lí sin: \[\frac{BC}{\sin\alpha} = \frac{AC}{\sin\widehat{ABC}} \Rightarrow BC = \frac{AC \cdot \sin\alpha}{\sin(90^\circ - (\alpha - \beta))}\] Thay AC vào: \[BC = \frac{a\sin\gamma \cdot \sin\alpha}{\sin(\beta - \gamma) \cdot \sin(90^\circ - (\alpha - \beta))}\] Vậy bề rộng của đảo tính được theo công thức trên với các đại lượng đo được là \(a, \alpha, \beta, \gamma\).