Chứng minh tổng bốn vectơ từ trung điểm bằng vectơ không
Đề bài:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.\)
Vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}\).
Vì N là trung điểm CD nên \(\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{0}\).
Vì O là trung điểm MN nên \(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{0}\).
Áp dụng quy tắc ba điểm:
\[\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA}, \quad \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}\]
\[\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{NC}, \quad \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{ND}\]
Cộng bốn vectơ:
\[\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\]
\[= (\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA}) + (\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{ON} + \overrightarrow{NC}) + (\overrightarrow{ON} + \overrightarrow{ND})\]
\[= 2\overrightarrow{OM} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + 2\overrightarrow{ON} + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND})\]
\[= 2\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{ON} + \overrightarrow{0}\]
\[= 2(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON})\]
\[= 2 \cdot \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}.\]
Vậy \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}\). (đpcm)