Tìm tọa độ vectơ, xét cùng phương và biểu thị vectơ theo hai vectơ cho trước

Đề bài:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4), C(-1; -2) và D(6; 5). a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\). b) Giải thích tại sao \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) cùng phương. c) Giả sử E là điểm có tọa độ \((a; 1)\). Tìm \(a\) để \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{BE}\) cùng phương. d) Với \(a\) tìm được ở câu c), biểu thị vectơ \(\overrightarrow{AE}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho bốn điểm A, B, C, D và một điểm E phụ thuộc tham số a. Bài yêu cầu tính tọa độ vectơ, chứng minh cùng phương, tìm tham số và biểu thị vectơ theo hai vectơ cơ sở.

Kiến thức cần dùng

Công thức tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\, y_B - y_A)\). Hai vectơ \(\overrightarrow{u}(a;b)\) và \(\overrightarrow{v}(x;y)\) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại \(k \neq 0\) sao cho \(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\), tương đương với \(ay - bx = 0\) (hay \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\) khi \(x, y \neq 0\)). Quy tắc cộng vectơ: \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}\). Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương bằng cách giải hệ phương trình.

Phương pháp giải

Câu a–b: tính tọa độ rồi kiểm tra điều kiện cùng phương bằng cách tìm hệ số tỉ lệ. Câu c: lập điều kiện cùng phương theo tỉ lệ tọa độ, giải phương trình tìm a. Câu d có hai cách — cách 1 dùng quy tắc cộng kết hợp quan hệ tỉ lệ giữa \(\overrightarrow{BE}\) và \(\overrightarrow{AC}\); cách 2 đặt \(\overrightarrow{AE} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}\) rồi giải hệ.

Ứng dụng thực tế

Khi lập trình đồ họa, để di chuyển một điểm trên màn hình từ vị trí A đến E, người ta thường biểu diễn vectơ dịch chuyển theo hai hướng chuẩn — tương tự như bài d). Em có thể hình dung: nếu đi từ nhà A đến trường E mà phải đi theo hai con đường AB và AC, em sẽ phối hợp hai quãng đường đó như thế nào?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương IV

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...